Comprendre la valeur temporelle de l'argent

Félicitations ! !! Vous avez gagné un prix en argent ! Vous avez deux possibilités de paiement : A : Recevez 10 000 $ maintenant ou B : Recevez 10 000 $ dans trois ans. Quelle option choisiriez-vous ?

Quelle est la valeur temporelle de l’argent ?

Si vous êtes comme la plupart des gens, vous choisiriez de recevoir les 10 000 dollars maintenant. Après tout, trois ans, c’est long à attendre. Pourquoi une personne rationnelle reporterait-elle le paiement à l’avenir alors qu’elle pourrait avoir la même somme d’argent maintenant ? Pour la plupart d’entre nous, prendre l’argent dans le présent est tout simplement instinctif. Ainsi, au niveau le plus élémentaire, la valeur temporelle de l’argent démontre que, toutes choses étant égales par ailleurs, il semble préférable d’avoir de l’argent maintenant plutôt que plus tard.

Mais pourquoi ? Un billet de 100 dollars a la même valeur qu’un billet de 100 dollars dans un an, n’est-ce pas ? En fait, bien que le billet soit le même, vous pouvez faire beaucoup plus avec cet argent si vous l’avez maintenant car, avec le temps, vous pouvez gagner plus d’intérêts sur votre argent.

Revenons à notre exemple : En recevant 10 000 dollars aujourd’hui, vous êtes prêt à augmenter la valeur future de votre argent en investissant et en gagnant des intérêts sur une certaine période. Pour l’option B, vous n’avez pas de temps à perdre, et le paiement reçu dans trois ans serait votre valeur future. Pour illustrer ce point, nous avons fourni un calendrier :

Si vous choisissez l’option A, votre valeur future sera de 10 000 dollars plus les intérêts acquis au cours des trois années. La valeur future de l’option B, en revanche, ne serait que de 10 000 dollars. Alors comment calculer exactement la valeur de l’option A par rapport à l’option B ? Voyons voir.

Les bases de la valeur future

Si vous choisissez l’option A et que vous investissez le montant total à un taux annuel simple de 4,5 %, la valeur future de votre investissement à la fin de la première année est de 10 450 $. Nous arrivons à cette somme en multipliant le montant principal de 10 000 $ par le taux d’intérêt de 4,5 % et en ajoutant ensuite les intérêts obtenus au montant principal :

\begin{matrix} 10 000×0 \end{matrix}

&10 000 fois 0,045 = 450$ fin{aligné}

$10 000\times0$ $, 045=450$$

\begin{matrix} $450+$10, 000=$10 \end{matrix}

&$450 + $10,000 = $10,450 end{aligned}

$$450+$10$ $, 000=$10$ , $450$

Vous pouvez également calculer le montant total d’un investissement d’un an en manipulant simplement l’équation ci-dessus :

\begin{matrix} OE= ($10, 000×0 . 045) +$10, 000=$10 \end{matrix}

&text{OE} = ( $10,000 fois 0.045 ) + $10,000 = $10,450 &textbf{where:} &text{OE} = text{Equation originale} end{aligned}

$OE= ($10, 000\times0 . 045) +$10, 000=$10, 450 où : OE=équation originale$

\begin{matrix} Manipulation=$10 \end{matrix}

\begin{matrix} , 000× \end{matrix}

\begin{matrix} [(1×0 . 045) +1] =$10 \end{matrix}

&text{Manipulation} = $10,000 times [ ( 1 times 0.045 ) + 1 ] = $10,450 end{aligned}

$Manipulation=$10$ , $000\times [(1$ $\times0$ $.$ $045$ $) +1] =$ $$10$ $,$ $450$

\begin{matrix} Équ \end{matrix}

ation

\begin{matrix} finale=10 000 $× ( \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

& texte{Équation finale} = 10 000 fois ( 0,045 + 1 ) = 10 450 $ fin{aligné}

$Équ$ ation $finale=10 000 $$ $\times$ $($ $, 045+1) =$ $10$ $450$ $$$

L’équation manipulée ci-dessus est simplement une suppression de la variable similaire 10 000 $ (le montant principal) en divisant l’équation originale entière par 10 000 $.

Si les 10 450 $ qui restent sur votre compte d’investissement à la fin de la première année ne sont pas touchés et que vous les avez investis à 4,5 % pendant une autre année, quel est le montant dont vous disposez ? Pour calculer ce montant, vous prenez les 10 450 $ et vous les multipliez à nouveau par 1,045 (0,045 +1). Au bout de deux ans, vous obtiendrez 10 920,25 dollars.

Calcul de la valeur future

Le calcul ci-dessus est donc équivalent à l’équation suivante :

\begin{matrix} Valeur future \end{matrix}

\begin{matrix} 10 000 $× (1 \end{matrix}

\begin{matrix} +0 \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

\begin{matrix} , 045)\times (1+0 \end{matrix}

\begin{matrix} , \end{matrix}

\begin{matrix} 045 \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

begin{aligned} &text{Valeur future} = 10 000 fois ( 1 + 0,045 ) fois ( 1 + 0,045 ) end{aligned}

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$Valeur future = 10 000$ $$\times$ $($ 1+0,045 $)\times$ $($ $1+0$ $,$ $045$ $)$

Repensez à la classe de mathématiques et à la règle des exposants, qui stipule que la multiplication de termes similaires équivaut à l’addition de leurs exposants. Dans l’équation ci-dessus, les deux termes similaires sont (1+ 0,045), et l’exposant de chacun est égal à 1. Par conséquent, l’équation peut être représentée comme suit

\begin{matrix} Valeur future=10 000 $× (1+0 \end{matrix}

&text{Future Value} = 10 000 fois ( 1 + 0,045 )^2 end{aligned}

$Valeur future=10 000 $$ × $($ $1+0$ $,$ $045$ $)^{2}$

Nous pouvons voir que l’exposant est égal au nombre d’années pendant lesquelles l’argent produit des intérêts dans un investissement. Ainsi, l’équation pour calculer la valeur future de l’investissement sur trois ans ressemblerait à ceci :

\begin{matrix} Valeur future=10 000 $× (1+0 \end{matrix}

&text{Future Value} = 10 000 fois ( 1 + 0,045 )^3 end{aligned}

$Valeur future=10 000 $$ × $($ $1+0$ $,$ $045$ $)^{3}$

Cependant, nous n’avons pas besoin de continuer à calculer la valeur future après la première année, puis la deuxième année, puis la troisième année, et ainsi de suite. Vous pouvez calculer tout cela d’un seul coup, pour ainsi dire. Si vous connaissez le montant actuel de votre investissement, son taux de rendement et le nombre d’années pendant lesquelles vous souhaitez conserver cet investissement, vous pouvez calculer la valeur future (VF) de ce montant. C’est fait avec l’équation :

begin{aligned} &text{FV} = texte{PV} times ( 1 + i )^ n &textbf{where:} &text{FV} = text{Valeur future} &text{PV} = texte{Valeur actuelle (montant original) &i = texte{taux d’intérêt par période} &n = texte{Nombre de périodes} N – fin{aligné}

$FV = PV \times (1 i)^{n} où : FV = Valeur future PV = Valeur actuelle (montant initial de l’argent) i = Taux d’intérêt par période n = Nombre de périodes$

Les bases de la valeur actuelle

Si vous recevez 10 000 dollars aujourd’hui, sa valeur actuelle serait bien sûr de 10 000 dollars, car la valeur actuelle est ce que votre investissement vous donne maintenant si vous le dépensez aujourd’hui. Si vous deviez recevoir 10 000 $ dans un an, la valeur actuelle de ce montant ne serait pas de 10 000 $ parce que vous ne l’avez pas en main aujourd’hui, au moment présent.

Pour connaître la valeur actuelle des 10 000 dollars que vous recevrez à l’avenir, vous devez prétendre que ces 10 000 dollars représentent la valeur totale future d’un montant que vous avez investi aujourd’hui. En d’autres termes, pour trouver la valeur actuelle des 10 000 dollars futurs, nous devons déterminer combien nous devrions investir aujourd’hui pour recevoir ces 10 000 dollars dans un an.

Pour calculer la valeur actuelle, ou le montant que nous devrions investir aujourd’hui, vous devez soustraire les intérêts (hypothétiques) accumulés des 10 000 $. Pour ce faire, nous pouvons actualiser le montant du paiement futur (10 000 $) en fonction du taux d’intérêt de la période. En fait, tout ce que vous faites est de réarranger l’équation de la valeur future ci-dessus afin de pouvoir résoudre la valeur actuelle (PV). L’équation de la valeur future ci-dessus peut être réécrite comme suit :

&text{PV} = frac{ text{FV} }{ ( 1 + i )^ n } end{aligned}

$PV= \frac{FV}{( 1+i ) ^{n}}$

Une autre équation serait :

&text{PV} = texte{FV} fois ( 1 + i )^{-n} &textbf{where:} &text{PV} = texte{Valeur actuelle (montant original) &text{FV} = texte{Valeur future} &i = texte{taux d’intérêt par période} &n = texte{Nombre de périodes} end{aligned}

$PV=FV\times (1+i)^{-n} où :$ $PV=Valeur actuelle (montant initial$ ) $FV=Valeur future i=Taux d’intérêt par période n=Nombre de périodes$

Calcul de la valeur actuelle

Revenons sur les 10 000 dollars offerts dans le cadre de l’option B. N’oubliez pas que les 10 000 dollars à recevoir dans trois ans sont en réalité la même valeur future d’un investissement. S’il nous restait un an avant d’obtenir l’argent, nous escompterions le paiement d’un an en arrière. En utilisant notre formule de valeur actuelle (version 2), à l’horizon actuel de deux ans, la valeur actuelle des 10 000 dollars à recevoir en un an serait de 10 000 dollars x (1 + 0,045^)-1= 9569,38 dollars.

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Notez que si nous en étions aujourd’hui à un an, les 9 569,38 dollars ci-dessus seraient considérés comme la valeur future de notre investissement dans un an.

Si l’on poursuit, à la fin de la première année, on s’attend à recevoir le paiement de 10 000 dollars en deux ans. À un taux d’intérêt de 4,5 %, le calcul de la valeur actuelle d’un paiement de 10 000 $ attendu dans deux ans serait de 10 000 $ x (1 + 0,045^)-2= 9 157,30 $.

Bien sûr, grâce à la règle des exposants, nous n’avons pas à calculer la valeur future de l’investissement chaque année à partir de l’investissement de 10 000 dollars la troisième année. Nous pourrions formuler l’équation de manière plus concise et utiliser les 10 000 dollars comme valeur de rachat. Voici donc comment vous pouvez calculer la valeur actuelle des 10 000 $ attendus d’un investissement sur trois ans qui rapporte 4,5 % :

&8 762,97 $ = 10 000 fois ( 1 + .045 )^{-3}

end{aligned}

$8762, 97$=10 000$\times (1+ . 045)^{-3}$

Ainsi, la valeur actuelle d’un paiement futur de 10 000 dollars vaut aujourd’hui 8 762,97 dollars si les taux d’intérêt sont de 4,5 % par an. En d’autres termes, choisir l’option B revient à prendre 8 762,97 dollars maintenant et à les investir pendant trois ans. Les équations ci-dessus montrent que l’option A est meilleure non seulement parce qu’elle vous offre de l’argent dès maintenant, mais aussi parce qu’elle vous offre 1 237,03 $ (10 000 $ – 8 762,97 $) de plus en espèces ! En outre, si vous investissez les 10 000 dollars que vous recevez de l’option A, votre choix vous donne une valeur future supérieure de 1 411,66 dollars (11 411,66 $ – 10 000 $) à celle de l’option B.

Valeur actuelle d’un paiement futur

Augmentons la mise sur notre offre. Que se passe-t-il si le paiement futur est supérieur au montant que vous recevriez immédiatement ? Disons que vous pourriez recevoir soit 15 000 dollars aujourd’hui, soit 18 000 dollars dans quatre ans. La décision est maintenant plus difficile à prendre. Si vous choisissez de recevoir 15 000 dollars aujourd’hui et d’investir la totalité de cette somme, vous pourriez en fait vous retrouver avec un montant en espèces dans quatre ans inférieur à 18 000 dollars.

Comment décider ? Vous pourriez trouver la valeur future de 15 000 $, mais puisque nous vivons toujours dans le présent, trouvons la valeur actuelle de 18 000 $. Cette fois, nous supposerons que les taux d’intérêt sont actuellement de 4 %. N’oubliez pas que l’équation de la valeur actuelle est la suivante :

&text{PV} = texte{FV} fois ( 1 + i )^{-n}

end{aligned}

$PV=FV\times (1+i)^{-n}$

Dans l’équation ci-dessus, nous ne faisons qu’actualiser la valeur future d’un investissement. En utilisant les chiffres ci-dessus, la valeur actuelle d’un paiement de 18 000 $ en quatre ans serait calculée comme suit : 18 000 $ x (1 + 0,04^)-4 = 15 386,48 $.

Grâce au calcul ci-dessus, nous savons aujourd’hui que nous avons le choix entre opter pour 15 000 $ ou 15 386,48 $. Bien entendu, nous devrions choisir de reporter le paiement de quatre ans !

Ces calculs démontrent que le temps est littéralement de l’argent – la valeur de l’argent que vous avez maintenant n’est pas la même que celle qu’il aura dans le futur et vice versa. Il est donc important de savoir comment calculer la valeur temporelle de l’argent afin de pouvoir distinguer la valeur des investissements qui vous offrent un rendement à différents moments. (Pour des lectures connexes, voir « La valeur temporelle de l’argent et le dollar »)