Définition de la simulation de Monte Carlo

Qu’est-ce qu’une simulation de Monte Carlo ?

Les simulations de Monte Carlo sont utilisées pour modéliser la probabilité de différents résultats dans un processus qui ne peut être facilement prédit en raison de l’intervention de variables aléatoires. Il s’agit d’une technique utilisée pour comprendre l’impact du risque et de l’incertitude dans les modèles de prévision et d’anticipation.

Une simulation de Monte Carlo peut être utilisée pour résoudre toute une série de problèmes dans pratiquement tous les domaines, tels que la finance, l’ingénierie, la chaîne d’approvisionnement et la science. Elle est également appelée simulation à probabilités multiples.

Points clés à retenir

Une simulation de Monte Carlo est un modèle utilisé pour prédire la probabilité de différents résultats lorsque l’intervention de variables aléatoires est présente.
Les simulations de Monte Carlo permettent d’expliquer l’impact du risque et de l’incertitude dans les modèles de prévision et d’anticipation.
Divers domaines utilisent les simulations de Monte Carlo, notamment la finance, l’ingénierie, la chaîne d’approvisionnement et la science.
La base d’une simulation de Monte Carlo consiste à attribuer plusieurs valeurs à une variable incertaine pour obtenir plusieurs résultats, puis à faire la moyenne des résultats pour obtenir une estimation.
Les simulations de Monte Carlo supposent des marchés parfaitement efficaces.

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Comprendre une simulation de Monte Carlo

Lorsque l’on est confronté à une incertitude importante dans le processus de prévision ou d’estimation, plutôt que de simplement remplacer la variable incertaine par un seul nombre moyen, la simulation de Monte Carlo peut s’avérer être une meilleure solution en utilisant des valeurs multiples.

Comme les affaires et la finance sont en proie à des variables aléatoires, les simulations de Monte Carlo ont un vaste éventail d’applications potentielles dans ces domaines. Elles sont utilisées pour estimer la probabilité de dépassement des coûts dans les grands projets et la probabilité qu’un prix d’actif évolue d’une certaine manière.

Les télécoms les utilisent pour évaluer les performances du réseau dans différents scénarios, ce qui les aide à optimiser le réseau. Les analystes les utilisent pour évaluer le risque de défaillance d’une entité et pour analyser les produits dérivés tels que les options.

Les assureurs et les foreurs de puits de pétrole y ont également recours. Les simulations de Monte Carlo ont d’innombrables applications en dehors du monde des affaires et de la finance, comme en météorologie, en astronomie et en physique des particules.

Histoire de la simulation de Monte Carlo

Les simulations de Monte Carlo portent le nom de la destination de jeu populaire à Monaco, car le hasard et les résultats aléatoires sont au cœur de la technique de modélisation, tout comme pour les jeux comme la roulette, les dés et les machines à sous.

La technique a d’abord été développée par Stanislaw Ulam, un mathématicien qui a travaillé sur le projet Manhattan. Après la guerre, alors qu’il se remettait d’une opération du cerveau, Ulam s’est diverti en jouant d’innombrables parties de solitaire. Il s’est intéressé au tracé des résultats de chacun de ces jeux afin d’observer leur distribution et de déterminer la probabilité de gagner. Après avoir partagé son idée avec John Von Neumann, les deux hommes ont collaboré pour développer la simulation de Monte Carlo.

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Méthode de simulation de Monte Carlo

La base d’une simulation de Monte Carlo est que la probabilité de résultats variables ne peut être déterminée en raison d’une interférence variable aléatoire. Par conséquent, une simulation de Monte Carlo se concentre sur la répétition constante d’échantillons aléatoires pour obtenir certains résultats.

Une simulation de Monte Carlo prend la variable qui présente une incertitude et lui attribue une valeur aléatoire. Le modèle est ensuite exécuté et un résultat est fourni. Ce processus est répété encore et encore tout en attribuant à la variable en question de nombreuses valeurs différentes. Une fois la simulation terminée, on fait la moyenne des résultats pour obtenir une estimation.

Calcul d’une simulation de Monte Carlo

Une façon d’utiliser une simulation Monte Carlo est de modéliser les mouvements possibles des prix des actifs en utilisant Excel ou un programme similaire. L’évolution du prix d’un actif comporte deux composantes : la dérive, qui est un mouvement directionnel constant, et une entrée aléatoire, qui représente la volatilité du marché.

En analysant les données historiques sur les prix, vous pouvez déterminer la dérive, l’écart-type, la variance et le mouvement moyen du prix d’un titre. Ce sont les éléments de base d’une simulation de Monte Carlo.

Pour projeter une trajectoire de prix possible, utilisez les données historiques des prix de l’actif pour générer une série de rendements quotidiens périodiques en utilisant le logarithme naturel (notez que cette équation diffère de la formule habituelle de variation en pourcentage) :

\begin{matrix}  \end{matrix}

Rapport journalier

begin{aligned} &text{Rapport journalier périodique} = ln left ( frac{ text{Prix du jour} }{ text{Prix du jour précédent} } right ) end{aligned}

Rapport journalier $périodique=ln ($ Prix du jour $précédent$

$Prix$

du jour $)$

Utilisez ensuite les fonctions AVERAGE, STDEV.P et VAR.P sur l’ensemble de la série résultante pour obtenir respectivement le rendement quotidien moyen, l’écart type et les entrées de variance. La dérive est égale à :

\begin{matrix} Drift=Rendement \end{matrix}

journalier

\begin{matrix} moyen-Variance2 \\ où : \\ Rendement journalier moyen=Produit \end{matrix}

\begin{matrix} partir de \end{matrix}

\begin{matrix} série des rendements journaliers périodiques \end{matrix}

d’

\begin{matrix} Excel \\ Fonction moyenne des séries \end{matrix}

de rendements journaliers

\begin{matrix} périodiques \\ Variance=Produit \end{matrix}

à partir de la

\begin{matrix} série des rendements journaliers périodiques \end{matrix}

d’

&text{Drift} = text{Rendement journalier moyen} – frac{ text{Variance} }{ 2 } &textbf{where:} &text{Average Daily Return} = texte{produit à partir d’Excel} &text{AVERAGE function from periodic daily returns series} &text{Variance} = texte{produit à partir d’Excel} &text{VAR.P function from periodic daily returns series}

end{aligned}

$Drift=Rendement journal$

$ier moyen$

– $\frac{Vari}{2}$

$ance$

$où : Rendement journalier moyen=Produit$ par $Excel Fonction MOYENNE de la série des rendements journaliers périodiques Variance=Produit$ par $Excel Fonction VAR.P de la série des rendements journaliers périodiques$

Une autre possibilité est de régler la dérive sur 0 ; ce choix reflète une certaine orientation théorique, mais la différence ne sera pas énorme, du moins pour des périodes plus courtes.

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Obtenez ensuite une entrée aléatoire :

&text{Valeur aléatoire} = sigma times texte{NORMSINV(RAND())} &textbf{où:} &sigma = text{Déviation standard, produite à partir d’Excel} &text{STDEV.P function from periodic daily returns series} &text{NORMSINV et RAND} = texte{Fonctions accélérées}

end{aligned}

$Random Value=σ\timesNORMSINV (RAND()$ ) $où : σ=Déviation standard, produite$ à partir des $fonctions$ d’ $Excel STDEV.P fonction des séries de déclarations quotidiennes périodiques NORMSINV et RAND=Fonctions Excel$

L’équation pour le prix du jour suivant est la suivante

\begin{matrix} Prix \end{matrix}

\begin{matrix} lendemain=Prix \end{matrix}

begin{aligned} &text{Prix du lendemain} = texte{Prix du jour} times e^{ ( texte{Dérive} + texte{Valeur aléatoire} ) } end{aligned}

$Prix$ du $lendemain=Prix$ du $jour\timese^{(D}$

$^{érive+Valeur}$

$^{aléatoire}$

$^{)}$

Pour amener e à une puissance x

donnée dans Excel, utilisez la fonction EXP : EXP(x). Répétez ce calcul le nombre de fois souhaité (chaque répétition représente un jour) pour obtenir une simulation de l’évolution future des prix. En générant un nombre arbitraire de simulations, vous pouvez évaluer la probabilité que le prix d’un titre suive une trajectoire donnée.

Voici un exemple, montrant une trentaine de projections pour le stock de Time Warner Inc. pour une partie du mois de novembre 2015 :

Les fréquences des différents résultats générés par cette simulation formeront une distribution normale, c’est-à-dire une courbe en cloche. Le rendement le plus probable se situe au milieu de la courbe, ce qui signifie qu’il y a une chance égale que le rendement réel soit supérieur ou inférieur à cette valeur.

La probabilité que le rendement réel se situe à un écart-type près du taux le plus probable (« attendu ») est de 68 % ; celle qu’il se situe à deux écart-types près est de 95 %, et celle qu’il se situe à trois écart-types près est de 99,7 %. Néanmoins, il n’y a aucune garantie que le résultat le plus attendu se produira, ou que les mouvements réels ne dépasseront pas les projections les plus folles.

Il est essentiel que les simulations de Monte Carlo ignorent tout ce qui n’est pas intégré dans le mouvement des prix (tendances macroéconomiques, direction des entreprises, battage publicitaire, facteurs cycliques) ; en d’autres termes, elles supposent des marchés parfaitement efficaces.

Par exemple, le fait que Time Warner ait revu à la baisse ses prévisions pour l’année le 4 novembre ne se reflète pas ici, sauf dans l’évolution des prix pour ce jour-là, la dernière valeur des données ; si ce fait était pris en compte, la plupart des simulations ne prévoiraient probablement pas une hausse modeste des prix.