En savoir plus sur l’intérêt simple et composé

L’intérêt est défini comme le coût d’emprunt de l’argent, comme dans le cas des intérêts perçus sur le solde d’un prêt. Inversement, l’intérêt peut également être le taux payé pour l’argent en dépôt comme dans le cas d’un certificat de dépôt. Les intérêts peuvent être calculés de deux manières, l’intérêt simple ou l’intérêt composé.

  • L’intérêt simple est calculé sur le montant principal, ou initial, d’un prêt.
  • L’intérêtcomposé est calculé sur le montant du principal et aussi sur les intérêts cumulés des périodes précédentes, et peut donc être considéré comme « l’intérêt sur l’intérêt ».

Il peut y avoir une grande différence dans le montant des intérêts à payer sur un prêt si les intérêts sont calculés sur une base composée plutôt que simple. Du côté positif, la magie de la capitalisation peut jouer en votre faveur lorsqu’il s’agit de vos investissements et peut être un facteur puissant de création de richesse.

Si les intérêts simples et les intérêts composés sont des concepts financiers de base, une bonne connaissance de ces notions peut vous aider à prendre des décisions plus éclairées lorsque vous contractez un prêt ou investissez.

Formule de calcul de l’intérêt simple

La formule de calcul des intérêts simples est la suivante :

Intérêt simple=P×i×n où : P=Principe i=taux

d’intérêt

n=termedu prêtbegin{aligné}&text{Intérêt simple}=P fois i fois n &textbf{où

:

} &P=texte{principe} &i=texte{taux d’intérêt} &n=texte{durée du prêt} fin{aligné}

intérêt simple=P×i×n où : P=principe i=tauxd’intérêt

n=durée

du

prêt

Ainsi, si un intérêt simple de 5 % est appliqué à un prêt de 10 000 $ contracté pour trois ans, le montant total des intérêts à payer par l’emprunteur est calculé comme suit : 10 000 $ x 0,05 x 3 = 1 500 $.

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Les intérêts sur ce prêt sont payables au taux de 500 $ par an, ou 1 500 $ sur la durée du prêt, soit trois ans.

1:52

Formule d’intérêt composé

La formule de calcul des intérêts composés sur une année est la suivante

Intérêt

composé=[P(1+i)n]-P In

térêt

composé=P[(1+i)n-1] où : P=Principe i=taux d’intérêten pourcentage n=nombrede périodes de composition pour une annéebegin{aligné}&text{Intérêt composé

}

= [P(1 + i)^n] – P &text{Intérêt composé}

= P[(1 + i)^n – 1] &textbf{où:} &P=text{principe} &i=text{taux d’intérêt en pourcentage} &n=text{nombre de périodes de composition pour une année} fin{aligné}

Intérêtcomposé=[P(1+i

)n]-P Intérêtcomposé=P[

(

1+i

)n-1] où : P=principe i=tauxd’intérêten pourcentage n=nombrede périodes de composition pour une année

Intérêts composés = Montant total du principal et des intérêts à venir (ou valeur future) moins le montant du principal à l’heure actuelle appelé valeur actuelle (PV). La valeur actuelle est la valeur actuelle d’une somme d’argent ou d’un flux de trésorerie futur, compte tenu d’un taux de rendement déterminé.

Pour poursuivre avec l’exemple de l’intérêt simple, quel serait le montant de l’intérêt s’il est calculé sur une base composée ? Dans ce cas, il le serait :

$10,000 [(1 + 0.05)3

– 1] = $10,000 [1.157625 – 1] = $1,576.25.

Bien que le montant total des intérêts à payer sur la période de trois ans de ce prêt soit de 1 576,25 $, contrairement aux intérêts simples, le montant des intérêts n’est pas le même pour les trois années car les intérêts composés prennent également en considération les intérêts accumulés des périodes précédentes. Les intérêts payables à la fin de chaque année sont indiqués dans le tableau ci-dessous.

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Année Solde d’ouverture (P) Intérêt à 5% (I) Solde de clôture (P+I)
1 $10,000.00 $500.00 $10,500.00
2 $10,500.00 $525.00 $11,025.00
3 $11,025.00 $551.25 $11,576.25
Total des intérêts $1,576.25

Périodes composées

Lors du calcul des intérêts composés, le nombre de périodes de composition fait une différence significative. En général, plus le nombre de périodes de composition est élevé, plus le montant des intérêts composés est important. Ainsi, pour chaque tranche de 100 $ d’un prêt sur une certaine période, le montant des intérêts courus à 10 % par an sera inférieur à celui des intérêts courus à 5 % par semestre, qui sera lui-même inférieur à celui des intérêts courus à 2,5 % par trimestre.

Dans la formule de calcul des intérêts composés, les variables « i » et « n » doivent être ajustées si le nombre de périodes de composition est supérieur à une fois par an.

C’est-à-dire que, entre parenthèses, « i » ou taux d’intérêt doit être divisé par « n », le nombre de périodes de composition par an. En dehors des parenthèses, « n » doit être multiplié par « t », la durée totale de l’investissement.

Donc, pour un prêt de 10 ans à 10 %, où les intérêts sont composés semestriellement (nombre de périodes de composition = 2), i = 5 % (soit 10 % / 2) et n = 20 (soit 10 x 2).

Pour calculer la valeur totale avec les intérêts composés, vous utiliserez cette équation :

Valeur totale avec intérêts composés=[P(1+in)nt]-P Inté

rêts

composés=P[(1+in)nt-1] où : P=Principe i=taux d’intérêten pourcentage n=nombrede périodes de composition par an t=nombre total

d’

années pour l’investissement ou le prêtbegin{aligné}&text{Valeur totale avec intérêts composés

}

= [P(frac{1 + i}{n})^{nt}] – P &text{Intérêt composé} = P[(frac{1 + i}{n})^{nt} – 1] &textbf{where :} &P=text{principe} &i=text{taux d’intérêt en pourcentage} &n=text{nombre de périodes de composition par an} &t=text{nombre total d’années pour l’investissement ou le prêt} end{aligned}

Valeur totale avec intérêt composé=[P( n 1+i )nt]-P Intérêt composé=P[( n 1+i )nt-1] où : P=principe i=tauxd’intérêten pourcentage n=nombrede périodes de composition par an t=nombre totald’années pour l’investissement ou le prêt

Le tableau suivant montre la différence que le nombre de périodes de composition peut faire des heures supplémentaires pour un prêt de 10 000 $ contracté pour une période de 10 ans.

Fréquence de composition Nombre de périodes de composition Valeurs pour i/n et nt Total des intérêts
Annuellement 1 i/n = 10 %, nt = 10 $15,937.42
Semestriellement 2 i/n = 5%, nt = 20 $16,532.98
Trimestriel 4 i/n = 2,5%, nt = 40 $16,850.64
Mensuel 12 i/n = 0,833%, nt = 120 $17,059.68

Autres concepts d’intérêts composés

Valeur temporelle de l’argent

L’argent n’étant pas « gratuit » mais ayant un coût en termes d’intérêts à payer, il s’ensuit qu’un dollar aujourd’hui vaut plus qu’un dollar à l’avenir. Ce concept est connu sous le nom de valeur temporelle de l’argent et constitue la base de techniques relativement avancées comme l’analyse des flux de trésorerie actualisés (DCF). Le contraire de la capitalisation est connu sous le nom d’actualisation. Le facteur d’actualisation peut être considéré comme la réciproque du taux d’intérêt et est le facteur par lequel une valeur future doit être multipliée pour obtenir la valeur actuelle.

Les formules pour obtenir la valeur future (FV) et la valeur actuelle (PV) sont les suivantes :



FV=PV×(1in)ntPV=FV÷(1in)ntoù :i=taux d’intérêt en pourcentagen=nombre de périodes de composition par ant=nombre total d’années pour l’investissement ou le prêtbegin{aligned} &text{FV} = PV times (frac{1 + i}{n})^{nt} &text{PV} = FV div (frac{1 + i}{n})^{nt} &textbf{where:} &i=text{taux d’intérêt en pourcentage} &n=text{nombre de périodes de composition par an} &t=text{nombre total d’années pour l’investissement ou le prêt} end{aligned}

FV=PV×(1i)ntPV=FV÷(n1i)ntoù :i=taux d’intérêt en pourcentagen=nombre de périodes de composition par ant=nombre total d’années pour l’investissement ou le prêt

Par exemple, la valeur future de 10 000 dollars est composée à 5 % par an pendant trois ans :

= $10,000 (1 + 0.05)3

= $10,000 (1.157625)

= $11,576.25.

La valeur actuelle de 11 576,25 $ est actualisée à 5 % pendant trois ans :

= $11,576.25 / (1 + 0.05)3

= $11,576.25 / 1.157625

= $10,000

La réciproque de 1,157625, qui est égale à 0,8638376, est le facteur d’actualisation dans ce cas.

L’article 72

La règle de 72 calcule le temps approximatif pendant lequel un investissement doublera à un taux de rendement ou d’intérêt donné « i » et est donnée par (72 / i). Elle ne peut être utilisée que pour la capitalisation annuelle, mais peut être très utile pour planifier le montant que vous pourriez avoir à la retraite.

Par exemple, un investissement qui a un taux de rendement annuel de 6 % doublera en 12 ans (72 / 6 %).

Un investissement avec un taux de rendement annuel de 8 % doublera en neuf ans (72 / 8 %).

Taux de croissance annuel composé (TCAC)

Le taux de croissance annuel composé (TCAC) est utilisé pour la plupart des applications financières qui nécessitent le calcul d’un taux de croissance unique sur une période donnée.

Par exemple, si votre portefeuille d’investissement est passé de 10 000 à 16 000 dollars en cinq ans, quel est le TCAC ? En gros, cela signifie que PV = 10 000 $, FV = 16 000 $, nt = 5, donc la variable « i » doit être calculée. En utilisant une calculatrice financière ou un tableur Excel, on peut montrer que i = 9,86%.

Veuillez noter que selon la convention de trésorerie, votre investissement initial (PV) de 10 000 $ est indiqué par un signe négatif puisqu’il représente une sortie de fonds. PV et FV doivent nécessairement avoir des signes opposés pour résoudre le « i » dans l’équation ci-dessus.

Applications concrètes

Le TCAC est largement utilisé pour calculer les rendements sur différentes périodes pour les actions, les fonds communs de placement et les portefeuilles d’investissement. Le TCAC est également utilisé pour déterminer si un gestionnaire de fonds communs de placement ou un gestionnaire de portefeuille a dépassé le taux de rendement du marché sur une période donnée. Par exemple, si un indice de marché a fourni un rendement total de 10 % sur cinq ans, mais qu’un gestionnaire de fonds n’a généré qu’un rendement annuel de 9 % sur la même période, le gestionnaire a sous-performé le marché.

Le TCAC peut également être utilisé pour calculer le taux de croissance prévu des portefeuilles d’investissement sur de longues périodes, ce qui est utile à des fins telles que l’épargne-retraite. Examinez les exemples suivants :

  1. Un investisseur peu enclin au risque se contente d’un modeste taux de rendement annuel de 3 % sur son portefeuille. Son portefeuille actuel de 100 000 dollars passerait donc à 180 611 dollars après 20 ans. En revanche, un investisseur tolérant au risque qui attend un rendement annuel de 6 % de son portefeuille verrait ses 100 000 $ passer à 320 714 $ après 20 ans.
  2. Le TCAC peut être utilisé pour estimer le montant à mettre de côté pour un objectif spécifique. Un couple qui voudrait économiser 50 000 $ sur 10 ans pour une mise de fonds sur un appartement en copropriété devrait économiser 4 165 $ par an s’il suppose un rendement annuel (TCAC) de 4 % sur ses économies. S’ils sont prêts à prendre un risque supplémentaire et s’attendent à un TCAC de 5 %, ils devraient économiser 3 975 $ par an.
  3. Le TCAC peut également être utilisé pour démontrer les vertus d’un investissement plus tôt que plus tard dans la vie. Si l’objectif est d’économiser un million de dollars avant la retraite à 65 ans, sur la base d’un TCAC de 6 %, un jeune de 25 ans devrait épargner 6 462 dollars par an pour atteindre cet objectif. Une personne de 40 ans, en revanche, devrait épargner 18 227 dollars, soit près de trois fois ce montant, pour atteindre le même objectif.

Considérations supplémentaires sur les intérêts

Assurez-vous de connaître le taux annuel de remboursement (TAEG) exact de votre prêt, car la méthode de calcul et le nombre de périodes de composition peuvent avoir une incidence sur vos mensualités. Bien que les banques et les institutions financières aient des méthodes normalisées pour calculer les intérêts à payer sur les prêts hypothécaires et autres prêts, les calculs peuvent différer légèrement d’un pays à l’autre.

La capitalisation peut jouer en votre faveur lorsqu’il s’agit de vos investissements, mais elle peut aussi vous être utile pour le remboursement de vos prêts. Par exemple, si vous remboursez la moitié de votre prêt hypothécaire deux fois par mois, au lieu d’effectuer le paiement complet une fois par mois, vous finirez par réduire votre période d’amortissement et par économiser un montant substantiel d’intérêts.

La capitalisation peut jouer contre vous si vous avez des prêts à des taux d’intérêt très élevés, comme les dettes de cartes de crédit ou de grands magasins. Par exemple, un solde de carte de crédit de 25 000 $ à un taux d’intérêt de 20 % – composé mensuellement – entraînerait des frais d’intérêt totaux de 5 485 $ sur un an ou de 457 $ par mois.

Faites travailler la magie de la capitalisation pour vous en investissant régulièrement et en augmentant la fréquence de remboursement de votre prêt. En vous familiarisant avec les concepts de base des intérêts simples et composés, vous pourrez prendre de meilleures décisions financières, ce qui vous permettra d’économiser des milliers de dollars et d’augmenter votre valeur nette au fil du temps.

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