Définition de la relation linéaire

Qu’est-ce qu’une relation linéaire ?

Une relation linéaire (ou association linéaire) est un terme statistique utilisé pour décrire une relation linéaire entre deux variables. Les relations linéaires peuvent être exprimées soit sous un format graphique où la variable et la constante sont reliées par une ligne droite, soit sous un format mathématique où la variable indépendante est multipliée par le coefficient de pente, additionné d’une constante, qui détermine la variable dépendante.

Une relation linéaire peut être mise en contraste avec une relation polynomiale ou non linéaire (courbe).

Points clés à retenir

Une relation linéaire (ou association linéaire) est un terme statistique utilisé pour décrire une relation linéaire entre deux variables.
Les relations linéaires peuvent être exprimées soit sous forme graphique, soit sous forme d’équation mathématique de la forme y = mx + b.
Les relations linéaires sont assez courantes dans la vie quotidienne.

L’équation linéaire est :

Mathématiquement, une relation linéaire est une relation qui satisfait à l’équation :

&y = mx + b &textbf{where:} &m=text{slope} &b=text{y-intercept} end{aligned}

$y=mx+b$ où $: m=slope b=y-intercept$

Dans cette équation, « x » et « y » sont deux variables qui sont liées par les paramètres « m » et « b ». Graphiquement, y = mx + b représente dans le plan x-y une ligne avec la pente « m » et l’ordonnée à l’origine « b ». L’ordonnée à l’origine « b » est simplement la valeur de « y » lorsque x=0. La pente « m » est calculée à partir de deux points individuels (x1, y1) et (x2, y2) comme :

m = frac{(y_2 – y_1)}{(x_2

– x_1 $)} m= \frac{( y _{2} -y _{1} )}{( x _{2} -x _{1} )}$

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Que vous dit une relation linéaire ?

Une équation doit répondre à trois séries de critères pour être qualifiée de linéaire : une équation exprimant une relation linéaire ne peut pas comporter plus de deux variables, toutes les variables d’une équation doivent être à la première puissance, et l’équation doit s’inscrire dans un graphique en ligne droite.

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Une relation linéaire couramment utilisée est une corrélation, qui décrit à quel point une variable change de façon linéaire par rapport aux changements d’une autre variable.

En économétrie, la régression linéaire est une méthode souvent utilisée pour générer des relations linéaires afin d’expliquer divers phénomènes. Elle est couramment utilisée pour extrapoler des événements du passé afin de faire des prévisions pour l’avenir. Cependant, toutes les relations ne sont pas linéaires. Certaines données décrivent des relations qui sont courbes (comme les relations polynomiales) alors que d’autres données ne peuvent pas être paramétrées.

Fonctions linéaires

Le concept de fonction linéaire est mathématiquement similaire à une relation linéaire. Dans une variable, une fonction linéaire peut s’écrire comme suit :

&f(x) = mx + b &textbf{where:} &m=text{slope} &b=text{y-intercept} end{aligned}

$f (x) =mx+b$ où $: m=slope b=y-intercept$

Elle est identique à la formule donnée pour une relation linéaire, sauf que le symbole f(x) est utilisé à la place de y. Cette substitution est faite pour mettre en évidence la signification de la correspondance entre x et f(x), alors que l’utilisation de y

indique simplement que x et y sont deux quantités, liées par A et B.

Dans l’étude de l’algèbre linéaire, les propriétés des fonctions linéaires sont largement étudiées et rendues rigoureuses. Étant donné un scalaire C et deux vecteurs A et B de RN, la définition la plus générale d’une fonction linéaire stipule que :

c×f (A+B) =c\timesf

(

A

) +c\timesf

c fois f(A +B)

= c fois f(A) + c fois f(B) $c$

$\timesf$

$($

$A+B$

$) =c\timesf$

(

$A$

$)$

$+c\timesf$

$($

$B$

$)$

Exemples de relations linéaires

Exemple 1

Les relations linéaires sont assez courantes dans la vie quotidienne. Prenons par exemple le concept de vitesse. La formule que nous utilisons pour calculer la vitesse est la suivante : le taux de vitesse est la distance parcourue dans le temps. Si une personne à bord d’un minivan blanc Chrysler Town and Country 2007 se déplace entre Sacramento et Marysville en Californie, un tronçon de 41,3 miles sur l’autoroute 99, et que le trajet complet prend finalement 40 minutes, elle aura parcouru un peu moins de 60 mph.

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Bien qu’il y ait plus de deux variables dans cette équation, elle reste linéaire car l’une des variables sera toujours une constante (la distance).

Exemple 2

Une relation linéaire peut également être trouvée dans l’équation distance = taux x temps. Comme la distance est un nombre positif (dans la plupart des cas), cette relation linéaire serait exprimée dans le quadrant supérieur droit d’un graphique avec un axe X et Y.

Si un vélo fait pour deux personnes roulait à une vitesse de 30 miles par heure pendant 20 heures, le cycliste finira par parcourir 600 miles. Représentée graphiquement avec la distance sur l’axe Y et le temps sur l’axe X, une ligne traçant la distance parcourue pendant ces 20 heures sortirait directement de la convergence des axes X et Y.

Exemple 3

Pour convertir les degrés Celsius en degrés Fahrenheit, ou les degrés Fahrenheit en degrés Celsius, vous devez utiliser les équations ci-dessous. Ces équations expriment une relation linéaire sur un graphique :

degré C = frac{5}{9}(degré F – 32)

$°C= \frac{5}{9} (°F-32$

$)$

°F=95

degré F = frac{9}{5}(degré C + 32)

$°F= \frac{9}{5} (°C+32$

$)$

Exemple 4

Supposons que la variable indépendante est la taille d’une maison (mesurée en pieds carrés) qui détermine le prix du marché d’une maison (la variable dépendante) lorsqu’elle est multipliée par le coefficient de pente de 207,65 et est ensuite ajoutée au terme constant 10 500 $. Si la superficie d’une maison est de 1 250 pieds carrés, alors la valeur marchande de la maison est de (1 250 x 207,65) + 10 500 $ = 270 062,50 $. Graphiquement et mathématiquement, cela se présente comme suit :

Dans cet exemple, à mesure que la taille de la maison augmente, la valeur marchande de la maison augmente de manière linéaire.

Certaines relations linéaires entre deux objets peuvent être appelées « relations proportionnelles ». Cette relation apparaît comme

&Y = k fois X &textbf{où:} &k=text{constant} &Y, X=text{quantités proportionnelles} end{aligné}

$Y=k\timesX où : k=constant Y, X=quantités$

proportionnelles

Lors de l’analyse des données comportementales, il est rare qu’il existe une relation linéaire parfaite entre les variables. Cependant, on peut trouver des lignes de tendance dans les données qui forment une version approximative d’une relation linéaire. Par exemple, vous pourriez considérer les ventes quotidiennes de glaces et la température élevée quotidienne comme les deux variables en jeu dans un graphique et trouver une relation linéaire brute entre les deux.